Przepisz cały zapis
Nawiasy obejmują to, co ma być liczone razem. (x+2)/3 oznacza coś innego niż x+2/3. Potęgę wpiszesz jako x^2, pierwiastek jako sqrt(9), a wartość bezwzględną jako abs(x).
Poradnik SAT Math
Desmos na SAT. Zobacz, jak
rozwiązać zadanie.
Równania, wykresy, tabele i regresja na własnych przykładach. Zobacz, co wpisać do kalkulatora, jak odczytać wynik i kiedy lepiej policzyć samodzielnie.
Własne przykłady w kalkulatorze dostępnym na egzaminie.
Tu przecinają się proste
Najpierw podstawy
Gdzie jest Desmos na SAT?
Desmos to kalkulator dostępny w aplikacji Bluebook. Na SAT korzystasz z niego w całej części Math, w obu modułach. Otworzysz go przyciskiem Calculator przy pytaniu. Okno możesz przesunąć i dopasować jego rozmiar.
Masz dwa tryby: Graphing do wykresów, równań i tabel oraz Scientific do obliczeń. Wpisy z jednego trybu nie przenoszą się do drugiego. Przed rozpoczęciem sprawdź, który jest wybrany.
Wersję College Board możesz otworzyć na stronie Desmosa i przećwiczyć ją przed egzaminem. W przykładach poniżej używam właśnie Graphing Calculator, College Board Version.
Otwórz wersję egzaminacyjnąĆwicz wersję College Board. Zwykły Desmos ma również funkcje, których nie ma w kalkulatorze egzaminacyjnym, np. zapis wykresów na koncie czy dodawanie obrazków. Nie zakładaj, że wszystko ze standardowej strony będzie dostępne na SAT.
Obsługa kalkulatora
Zanim zaczniesz wpisywać zadania
Po lewej wpisujesz wyrażenia, a po prawej widzisz wykres. Każde równanie dodaj w osobnym wierszu. Jeśli korzystasz z klawiatury, Enter przenosi do kolejnego wpisu.
Przed nowym przykładem usuń wcześniejsze wpisy. Równania z jednego przykładu zostaw razem. Dzięki temu poprzednie funkcje, parametry i dane nie wpłyną na kolejne rozwiązanie.
Kliknij punkt na wykresie
Kliknij krzywą, żeby pokazać ważne punkty. Następnie wybierz punkt przecięcia, miejsce zerowe albo wierzchołek i odczytaj współrzędne. Nie szacuj wartości z samej kratki, jeśli kalkulator może ją wyświetlić.
Dopasuj okno
Przyciski + i − zmieniają przybliżenie. W Graph Settings, pod ikoną klucza, ustawisz zakres osi. Przy tabeli opcja Zoom Fit pomaga objąć wykresem wpisane dane.
W przykładach używam x i y do rysowania równań. Jeśli w zadaniu niewiadoma nazywa się inaczej, możesz oznaczyć ją jako x na czas pracy w kalkulatorze. Potem wróć do oznaczeń i pytania z polecenia.
Od równania do odpowiedzi
Równania i układy w Desmosie
Przykład 01
Równanie z jedną niewiadomą
If 3x + 4 = 19, what is the value of x?Co wpisać?
3x+4=19Desmos narysuje pionową prostą. Każdy jej punkt ma tę samą współrzędną x = 5. To odpowiedź na pytanie o x; współrzędna y nie jest tu potrzebna.
Zobacz rozwiązanie
Odejmij 4 od obu stron: 3x = 15, więc x = 5. Podstawienie sprawdza wynik: 3 · 5 + 4 = 19.
To prosty przykład do poznania sposobu rysowania. Tak krótkie równanie możesz wygodnie rozwiązać również bez kalkulatora.
Przykład 02
Układ dwóch prostych
The lines y = 2x + 1 and y = −x + 7 intersect at (a, b). What is a + b?Co wpisać?
y=2x+1y=-x+7Kliknij punkt przecięcia obu prostych. Odczytasz (2, 5), czyli a = 2 i b = 5. Polecenie pyta jednak o sumę, więc odpowiedź to 7.
Zobacz rozwiązanie
W punkcie przecięcia wartości y są równe: 2x + 1 = −x + 7. Stąd 3x = 6, więc x = 2. Wtedy y = 5 i a + b = 7.
Układ możesz też wpisać w postaci z zadania, np. 2x − y = −1 i x + y = 7. Nie musisz za każdym razem wyznaczać y przed rysowaniem.
Miejsca zerowe i przecięcia
Co odczytać z paraboli?
Przy tej samej funkcji pytanie może dotyczyć rozwiązania równania, najmniejszej wartości albo punktu przecięcia. Wykres pomaga je znaleźć, ale odpowiedź zależy od polecenia.
Przykład 03
Miejsca zerowe i wierzchołek
For y = x² − 6x + 5, what is the minimum value of y?Co wpisać?
y=x^2-6x+5Parabola przecina oś x w 1 i 5. Jej wierzchołek to (3, −4). Najmniejsza wartość y wynosi więc −4, a nie 3.
Zobacz rozwiązanie
Możesz zapisać funkcję jako y = (x − 3)² − 4. Kwadrat jest nieujemny, więc minimum to −4, osiągane dla x = 3.
Gdyby pytanie dotyczyło większego rozwiązania równania x² − 6x + 5 = 0, odpowiedzią byłoby 5.
Przykład 04
Prosta i parabola
How many distinct real solutions does x² − 4x + 1 = x + 1 have?Co wpisać?
y=x^2-4x+1y=x+1Wpisz obie strony równania jako dwa wykresy. Przecinają się w punktach (0, 1) i (5, 6). Są zatem dwa różne rozwiązania rzeczywiste: x = 0 i x = 5.
Zobacz rozwiązanie
Po przeniesieniu wyrazów otrzymujesz x² − 5x = 0, czyli x(x − 5) = 0. Rozwiązania to 0 i 5.
W tym zadaniu liczymy rozwiązania, więc końcowa odpowiedź to 2. Punkty na zrzucie zostały dodatkowo podpisane, żeby łatwiej porównać współrzędne.
Ćwiczymy też wybór metody
Na zajęciach sprawdzamy, co wpisać do Desmosa, jak odczytać wynik i kiedy szybciej policzysz samodzielnie.
Podstawianie i kolejne okresy
Funkcje, tabele i procenty
Przykład 05
Wartość funkcji dla konkretnego x
If f(x) = 2x² − 3x + 4, what is f(5)?Co wpisać?
f(x)=2x^2-3x+4f(5)Najpierw zdefiniuj funkcję, a w kolejnym wierszu wpisz f(5). Kalkulator obliczy 39. Tutaj nie trzeba szukać punktu na wykresie.
Zobacz rozwiązanie
f(5) = 2 · 5² − 3 · 5 + 4 = 50 − 15 + 4 = 39.
Uważaj na inne pytanie: „dla jakiego x funkcja ma wartość 5?”. Wtedy szukasz przecięcia y = f(x) i y = 5.
Gdy potrzebujesz kilku wartości
Dodaj tabelę przez + → Table. W pierwszej kolumnie wpisz wybrane wartości x. W nagłówku drugiej kolumny wpisz f(x_1); Desmos obliczy je z zapisanej funkcji.
Na zrzucie dla x = 0, 1, 2, 3 i 5 otrzymujesz kolejno 4, 3, 6, 13 i 39. Przy jednym podstawieniu zwykle wystarczy sam wpis f(5).
Przykład 06
Wzrost o ten sam procent
An amount of $500 increases by 4% each year. What is its value after 2 years?Co wpisać?
f(x)=500(1.04)^xf(2)Jeden wzrost o 4% oznacza pomnożenie przez 1,04. Dwa lata to dwa takie mnożenia. Desmos pokazuje 540,8, czyli 540,80 dolarów.
Zobacz rozwiązanie
500 · 1,04² = 540,8. Nie dodajemy po prostu 8% kwoty początkowej, bo drugi wzrost obejmuje już powiększoną kwotę.
Przy spadku o 10% w każdym okresie mnożnik wynosi 0,9. Na przykład 800 · 0,9² = 648.
W polskim wyjaśnieniu zapisuję ułamki dziesiętne przecinkiem. W Desmosie używaj kropki, np. 1.04. Przecinek w kalkulatorze oddziela również współrzędne i elementy listy.
Gdy zadanie podaje dane
Regresja w Desmosie: do czego służy tylda?
Regresja dopasowuje wskazany model do danych. Najpierw wybierasz jego postać na podstawie treści zadania: liniową, kwadratową albo inną. Sam kalkulator nie ustala, jaki model ma sens w danym kontekście.
Przykład 07
Funkcja liniowa z tabeli
The graph of a linear function passes through (0, 5), (2, 11), and (4, 17). What is its slope?Dodaj tabelę i wpisz pary do kolumn x_1 i y_1. Na zrzucie kolumny mają indeks 1. Jeśli Twoja tabela ma inne indeksy, użyj nazw z jej nagłówków. W nowym wierszu zapisz:
y_1~mx_1+bDesmos pokazuje m = 3 i b = 5. Szukane nachylenie to m, więc odpowiedź wynosi 3.
Użyj tyldy ~, a nie znaku równości. Indeks dolny wpiszesz przez _. Po cyfrze 1 wyjdź z indeksu strzałką w prawo, żeby dalszy zapis znalazł się na głównej linii.
Zobacz rozwiązanie
Nachylenie możesz sprawdzić z dwóch punktów: (11 − 5)/(2 − 0) = 3. Dla x = 0 wartość y wynosi 5, więc funkcja to y = 3x + 5.
W tym przykładzie zadanie określa funkcję liniową, a punkty pasują do niej dokładnie. Przy rzeczywistych, rozproszonych danych regresja daje model przybliżony.
A jeśli funkcja jest kwadratowa?
Usuń poprzednią tabelę i regresję. Do nowej tabeli wpisz punkty (0, 6), (1, 5), (2, 8). Jeśli zadanie mówi, że należą do funkcji kwadratowej, użyj modelu:
y_1~ax_1^2+bx_1+cOtrzymasz a = 2, b = −3, c = 6, czyli y = 2x² − 3x + 6. Te trzy punkty mają różne współrzędne x i wyznaczają tutaj jedną funkcję kwadratową.
Sprawdź, czy wcześniej nie przypisałeś wartości literom a, b lub c w innym wpisie. Wtedy przestaną być swobodnymi parametrami dopasowania.
Model nie jest dowodem. Wybór złej postaci, zbyt mało danych albo niejednoznaczne parametry mogą dać wynik, który nie odpowiada zadaniu. Nie zaokrąglaj liczby do całkowitej tylko dlatego, że jest do niej blisko.
Kolejne zastosowania
Nierówności, parametry i inne przydatne funkcje
Te narzędzia warto znać, ale nie musisz używać wszystkich przy każdym zadaniu. Wybierz to, które pomaga odpowiedzieć na konkretne pytanie.
Przykład 08
Wartość bezwzględna
What are the solutions to |x − 2| = 3?Co wpisać?
y=abs(x-2)y=3Wykres wartości bezwzględnej ma kształt litery V. Pozioma prosta y = 3 przecina go w punktach (−1, 3) i (5, 3). Rozwiązania równania to x = −1 i x = 5.
Zobacz rozwiązanie
Wartość bezwzględna jest równa 3, gdy x − 2 = 3 albo x − 2 = −3. Stąd x = 5 lub x = −1.
Przykład 09
Układ nierówności
Does the point (1, 4) satisfy both y ≥ 2x + 1 and y < −x + 7?Co wpisać?
y>=2x+1y<-x+7Szukaj części wspólnej dwóch zacieniowanych obszarów. Punkt (1, 4) spełnia obie nierówności. Prosta dla ≥ jest ciągła, a granica dla < przerywana.
Zobacz rozwiązanie
Dla (1, 4) sprawdzamy: 4 ≥ 2 · 1 + 1 oraz 4 < −1 + 7. Obydwa warunki są prawdziwe.
Punkt przecięcia granic (2, 5) nie spełnia drugiej nierówności, bo 5 nie jest mniejsze od 5. Granicy przerywanej nie włączamy do rozwiązania.
Parametr i suwak
Wpisz a=-3, a poniżej y=(x-2)^2+a. Przesuwając suwak a, zmieniasz wysokość paraboli. Współrzędna x wierzchołka pozostaje równa 2; dla a = −3 wierzchołek to (2, −3).
Suwak pomaga zobaczyć zależność. Jeśli zadanie pyta o dokładny parametr, potwierdź go rachunkiem. Na przykład w tej rodzinie minimum wynosi 7 dokładnie wtedy, gdy a = 7.
Okrąg i jego środek
Z równania (x-3)^2+(y+2)^2=25 odczytasz środek (3, −2) i promień 5. Rysunek pomaga sprawdzić położenie; promień nie jest równy 25.
Punkt (6, 2) leży na okręgu: (6 − 3)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25.
Średnia, mediana i suma listy
Wpisz listę L=[2,4,4,6,9]. Następnie mean(L) daje średnią 5, median(L) medianę 4, a total(L) sumę 25.
Jeśli zadanie podaje częstości, uwzględnij wszystkie obserwacje. Dwie czwórki w tej liście to dwie osobne wartości, nie jedna.
Gdy wynik wygląda podejrzanie
Okno, jednostki i dokładność
Punkt może być poza ekranem
Dla y=2x+8 i y=x+80 przecięcie wypada w (72, 152). W domyślnym małym oknie go nie zobaczysz. To nie oznacza, że proste się nie przecinają.
W Graph Settings ustaw na przykład x od 0 do 100 i y od 0 do 200. Po kliknięciu punktu odczytasz 72 i 152.
Stopnie czy radiany?
W Graph Settings znajdziesz Degrees i Radians. Wybierz jednostkę zgodną z zadaniem. Na SAT możesz spotkać obie; nie ustawiaj stopni automatycznie dla wszystkich obliczeń.
Dla kąta 30° w trybie Degrees wpis sin(30) daje 0,5. Zapis π/6 radiana opisuje ten sam kąt.
Przybliżenie to nie zawsze odpowiedź
Jeśli szukasz dokładnego ułamka, zachowaj go w obliczeniu, np. 2/3. Nie zastępuj go zbyt wcześnie krótkim przybliżeniem 0,67. Zapis odpowiedzi liczbowej na SAT sprawdzaj w instrukcji pola odpowiedzi w Bluebooku.
Sprawdź też warunki zadania
Dziedzina potrafi zmienić wynik
(x^2-9)/(x-3)=6Po skróceniu wyrażenia otrzymasz x + 3 = 6, a więc kandydat x = 3. W pierwotnym równaniu x = 3 zeruje jednak mianownik. To równanie nie ma rozwiązania.
Wykres i jego przybliżenia mogą nie pokazać wyraźnie wykluczonego punktu. Przy mianownikach i pierwiastkach sprawdź warunki pierwotnego zapisu.
Przed wpisaniem równania
Kiedy Desmos pomaga, a kiedy doda pracy?
Warto spróbować Desmosa
- Porównujesz wykresy albo szukasz przecięć.
- Chcesz znaleźć miejsce zerowe lub wierzchołek.
- Potrzebujesz wielu wartości tej samej funkcji.
- Treść wymaga dopasowania modelu do danych.
- Chcesz sprawdzić otrzymaną odpowiedź.
Sprawdź krótszy rachunek
- Wystarczy jedno proste przekształcenie.
- Pytanie dotyczy znaczenia współczynnika.
- Potrzebujesz dokładnego zapisu z nieznanym parametrem.
- Musisz uzasadnić własność dla wszystkich wartości.
- O wyniku decyduje dziedzina albo warunek z treści.
Desmos nie zastępuje odczytania polecenia i nie jest kalkulatorem do dowolnych przekształceń symbolicznych. Warto przećwiczyć oba sposoby, żeby na egzaminie wybrać ten, który pasuje do zadania.
Sprawdź sam
Cztery zadania do przećwiczenia
Otwórz wersję College Board i wybierz metodę. Najpierw odpowiedz na pytanie, a potem rozwiń rozwiązanie. Wszystkie przykłady w tym poradniku są autorskie.
Układ równań
The lines 3x + y = 14 and x − y = 2 intersect at (a, b). What is a + b?
Zobacz rozwiązanie
a = 4, b = 2, więc a + b = 6. Z drugiego równania y=x−2. Po podstawieniu: 4x−2=14, stąd x=4 i y=2.
Większe rozwiązanie
What is the greater solution to x² − 10x + 21 = 0?
Zobacz rozwiązanie
7. Rozkład (x−3)(x−7)=0 daje rozwiązania 3 i 7. Na wykresie odczytaj większą współrzędną x przecięcia z osią.
Dwa spadki procentowe
A value of 800 decreases by 10% each year. What is its value after 2 years?
Zobacz rozwiązanie
648, bo 800·0,9²=648. W kalkulatorze wpisz 800(0.9)^2.
Mediana listy
What is the median of 1, 1, 4, 4, 4, 10?
Zobacz rozwiązanie
4. Przy sześciu uporządkowanych liczbach bierzemy średnią trzeciej i czwartej: (4+4)/2=4.
Przed ćwiczeniem
Pytania o Desmos na SAT
Czy Desmos jest dostępny przez całą część Math?
Tak. Na cyfrowym SAT kalkulator jest dostępny w obu modułach Math. W części Reading and Writing nie służy do rozwiązywania pytań.
Czy muszę pobrać osobną aplikację Desmos na egzamin?
Nie. Kalkulator egzaminacyjny jest wbudowany w Bluebook. Przed testem przygotuj Bluebook i swoje urządzenie zgodnie z instrukcjami College Board. Wersję do ćwiczeń otworzysz przez oficjalną stronę Desmosa.
Czy mogę użyć własnego kalkulatora?
Tak, jeśli jest zgodny z aktualnymi zasadami College Board. Sprawdź dozwolone modele i wymagania przed egzaminem. Nie musisz przynosić własnego kalkulatora, żeby korzystać z Desmosa w Bluebooku.
Czy zwykły Desmos jest taki sam jak wersja SAT?
Wersja College Board ma konfigurację egzaminacyjną i ograniczenia, np. dotyczące zapisywania wykresów, obrazków i notatek w liście kalkulatora. Ćwicz w wersji testowej i sprawdzaj aktualną konfigurację.
Dlaczego Desmos nie pokazuje punktu przecięcia?
Sprawdź, czy oba równania są poprawne i widoczne. Dopasuj zakres osi lub oddal wykres. Punkt może być poza bieżącym oknem. Kliknij krzywą, a potem punkt, żeby odczytać współrzędne.
Dlaczego regresja z tabeli nie działa?
Sprawdź zapis indeksów x₁ i y₁, znak ~ zamiast =, liczbę punktów oraz wybrany model. Upewnij się, że nie przypisałeś wcześniej stałych wartości parametrom modelu. Sama zmiana modelu nie gwarantuje poprawnego rozwiązania.
Czy na SAT zawsze używać trybu Degrees?
Nie. Wybierz stopnie lub radiany według jednostki w zadaniu. Przełącznik jest w Graph Settings. Kąt 30° i π/6 radiana to dwa zapisy tego samego kąta.
Czy Desmosem można rozwiązać każde zadanie SAT Math?
Nie ma jednej metody pasującej do wszystkich pytań. Desmos pomaga przy wielu obliczeniach, wykresach i danych, ale nadal musisz rozumieć polecenie, warunki i znaczenie wyniku. Czasem szybciej wykonasz prosty rachunek samodzielnie.
Przygotowanie do matematyki SAT
Przećwiczmy to
na zadaniach SAT.
Na lekcji pokazujesz, jak dochodzisz do odpowiedzi. Sprawdzamy zapis w kalkulatorze, wyjaśniamy trudniejsze kroki i ćwiczymy podobne pytania. Dobieramy metodę do zadania i pracujemy nad tempem.
150 zł / 60 minutPłatność po zajęciach.